수학에서 대칭 다항식(對稱多項式, symmetric polynomial)은 변수의 위치를 뒤바꿔도 변하지 않는 다변수 다항식이다.
다항식
(
는 체)가 다음 조건을 만족시키면, 대칭 다항식이라고 한다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=f(x_{1},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54513b5ba5d9fd0d8313e4bd9e668b004347e99)
또한,
변수
차 단항 대칭 다항식(單項對稱多項式, 영어: monomial symmetric polynomial)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle m_{n,\alpha }(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}x_{\sigma (1)}^{\alpha _{1}}\cdots x_{\sigma (n)}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad71e23e63380c4f26475fef236b20e31949960)
또한,
변수
차 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 영어: elementary symmetric polynomial)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle e_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb4473cf7f318dab6db6adcfbf84bc54bc53723)
또한,
변수
차 멱합 대칭 다항식(冪合對稱多項式, power sum symmetric polynomial)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle s_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8263a4172028ee76829ed057d7aedd911dd56f1f)
또한,
변수
차 완전 동차 대칭 다항식(完全同次對稱多項式, 영어: complete homogeneous symmetric polynomial)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle h_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+\cdots +k_{n}=k}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e6fd3c207ef142a62926a1adf25d7bb478f1a5)
모든 대칭 다항식
에 대하여,
인
가 존재한다.